15 Variables aleatorias

En este capítulo se mostrará como usar R para representar gráficamente variables aleatorias, calcular el valor esperado y obtener la varianza.

Para un espacio muestral dado \(S\) de algún experimento, una variable aleatoria es cualquier regla que asocia un número con cada resultado en \(S\).

15.1 Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta \(X\) definida en el espacio muestral \(S\) puede tomar valores en un conjunto finito o en un conjunto infinito pero contable. A continuación se presentan dos ejemplos.

  • Si se lanzan tres monedas y se define \(Z\) como el número de caras menos el número de sellos, \(Z\) puede tomar valores de -3, -1, 1 y 3.
  • Si lanza un balón de baloncesto a un aro y se define \(W\) como el número de lanzamientos fallidos antes de encestar la primera vez, \(W\) puede tomar valores de 0, 1, 2, 3, ….
Ejemplo de variables aleatorias discretas.

Figure 15.1: Ejemplo de variables aleatorias discretas.

Sea \(X\) una variable aletoria discreta que toma valores en el conjunto \(D\) y con función de masa de probabilidad \(f(x)\). El valor esperado \(X\) se define como

\[ E(X) = \mu = \sum_{i \in D} x_i \, f(x_i) \] La varianza de la variable aleatoria \(X\) se define como

\[ Var(X) = \sigma^2 = \sum_{i \in D} (x_i-\mu)^2 \, f(x_i) \]

Ejemplo

Suponga que \(f(x)\) representa la función de masa de probabilidad dada por

\[ f(x) = \frac{2x+1}{25}, \quad x=0, 1, 2, 3, 4 \]

  1. Dibujar \(f(x)\).
  2. Dibujar \(F(x)\).
  3. Calcular \(E(X)\).
  4. Calcular \(Var(X)\).
  5. Calcular \(E(h(x))\) con \(h(x)=3x^2+x\).

Solución

Lo primero que debemos hacer es construir la función \(f(x)\).

f <- function(x) {
  (2*x+1) / 25
}

Ahora vamos a verificar que es una función de masa de probabilidad, es decir, que los valores de \(f(x)>0\) y que la suma de las probabilidades es 1.

x_vals <- c(0, 1, 2, 3, 4)  # Vector con los valores de X
probs <- f(x_vals)          # Vector con P(X=x)=f(x)

cbind(x_vals, probs)        # Tabla de X y P(X=x)
##      x_vals probs
## [1,]      0  0.04
## [2,]      1  0.12
## [3,]      2  0.20
## [4,]      3  0.28
## [5,]      4  0.36
sum(probs)                  # Debe sumar 1
## [1] 1

De la tabla anterior vemos que \(f(x) > 0\) y de la suma observamos que las probabilidades suman 1.

Vamos a dibujar la función de masa \(f(x)\) así:

plot(x=x_vals, y=probs, type="h",
     lwd=3, col="blue", las=1,
     xlab="X", ylab="f(X=x)")

grid()   # Para incluir una rejilla
Función f(x) para el ejemplo.

Figure 15.2: Función f(x) para el ejemplo.

Vamos a dibujar la función de masa \(F(x)\). Lo primero que se debe hacer es calcular las probabilidades acumuladas hasta cada valor que pueda tomar \(X\), para esto usamos la función cumsum aplicada al vector probs.

probs_acumul <- cumsum(probs)  # Vector con F(X=x)
probs_acumul
## [1] 0.04 0.16 0.36 0.64 1.00

Ahora si podemos dibujar \(F(x)\) con la ayuda de la función stepfun.

# Para crear un objeto con la informacion para dibujar F(x)
F <- stepfun(x=x_vals, y=c(0, probs_acumul), right=TRUE)

# Para dibujar la funcion F(x)
plot(F, verticals=FALSE, 
     lwd=3, col="blue", las=1,
     xlab="X", ylab="F(X=x)", main="")

grid()   # Para incluir una rejilla
Función F(x) para el ejemplo.

Figure 15.3: Función F(x) para el ejemplo.

Para calcular \(E(X)\) podemos usar el siguiente código.

mu <- sum(x_vals * probs)
mu
## [1] 2.8

Para calcular \(Var(X)\) podemos usar el siguiente código.

sigma2 <- sum((x_vals - mu)^2 * probs)
sigma2
## [1] 1.36

Para calcular \(E(h(x))\) con \(h(x)=3x^2+x\) podemos usar el siguiente código.

sum((3*x_vals^2 + x_vals) * probs)
## [1] 30.4

15.2 App shiny pmf

En el enlace que se muestra abajo hay una aplicación llamada pmf que recibe una función de masa de probabilidad \(f(x)\) y ella entrega el dibujo de \(f(x)\), el dibujo de \(F(x)\), el \(E(X)\) y la \(Var(X)\).

https://huggingface.co/spaces/FreddyHernandez/pmf.

15.3 Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua \(X\) definida en el espacio muestral \(S\) se considera continua si ella puede tomar valores en los números reales \(\Re\). A continuación se presentan dos ejemplos.

  • Se observa un vehículo en movimiento y se define \(Z\) como la velocidad al pasar por un punto.
  • Se observa un grupo de personas corriendo una maratón y se define \(W\) como el tiempo necesario para hacer el recorrido.
Ejemplo de variables aleatorias continuas.

Figure 15.4: Ejemplo de variables aleatorias continuas.

Sea \(X\) una variable aletoria continua que toma valores en el conjunto \(D\) y con función de masa de densidad \(f(x)\). El valor esperado \(X\) se define como

\[ E(X) = \mu = \int_{x \in D} x_i \, f(x_i) \] La varianza de la variable aleatoria \(X\) se define como

\[ Var(X) = \sigma^2 = \int_{x \in D} (x_i-\mu)^2 \, f(x_i) \]

Ejemplo

Suponga que \(f(x)\) representa la función de masa de densidad dada por

\[ f(x) = 20 e^{-20(x-12.5)}, \quad x>12.5 \]

  1. Dibujar \(f(x)\).
  2. Dibujar \(F(x)\).
  3. Calcular \(E(X)\).
  4. Calcular \(Var(X)\).
  5. Calcular \(E(h(x))\) con \(h(x)=3x^2+x\).

Solución

Lo primero que debemos hacer es construir la función \(f(x)\).

f <- function(x) {
  20 * exp(-20*(x-12.5))
}

Ahora vamos a verificar que es una función de densidad de probabilidad, es decir, que el área bajo la curva es 1.

integrate(f=f, lower=12.5, upper=Inf)                  # Debe sumar 1
## 1 with absolute error < 1e-08

Vamos a dibujar la función de densidad \(f(x)\) así:

curve(expr=f(x), from=12.5, to=13,
      lwd=3, col="blue", las=1,
      xlab="X", ylab="f(X=x)")
Función f(x) para el ejemplo 2.

Figure 15.5: Función f(x) para el ejemplo 2.

La función \(F(x)\) la podemos obtener integrando la función \(f(x)\) de forma computacional así:

F <- function(x, a)  integrate(f=f, lower=a, upper=x)$value

F <- Vectorize(F) # Para vectorizar la función y que pueda usar vectores

Vamos a dibujar la función \(F(x)\) así:

curve(expr=F(x, a=12.5), from=12.5, to=13,
      lwd=3, col="tomato", las=1,
      xlab="X", ylab="F(X=x)")
Función F(x) para el ejemplo 2.

Figure 15.6: Función F(x) para el ejemplo 2.

Para obtener \(E(X)\) vamos a realizar lo siguiente:

aux_fun <- function(x) x * f(x) # Función auxiliar para aplicar definición

integrate(f=aux_fun, lower=12.5, upper=Inf)
## 12.55 with absolute error < 1.3e-07

Para obtener \(Var(X)\) vamos a realizar lo siguiente:

aux_fun <- function(x) (x-12.55)^2 * f(x) # Función auxiliar para aplicar definición

integrate(f=aux_fun, lower=12.5, upper=Inf)
## 0.0025 with absolute error < 4.1e-08

15.4 App shiny pdf

En el enlace que se muestra abajo hay una aplicación llamada pdf que recibe un función de densidad de probabilidad y ella entrega el dibujo de \(f(x)\), \(F(x)\), \(E(X)\) y \(Var(X)\). Para usar la aplicación usted debe copiar el siguiente código en la consola de R y esperar unos segundos para ejecutar la aplicación.

https://huggingface.co/spaces/FreddyHernandez/pdf.