12 Pruebas de Homocedasticidad

En este capítulo se presentan varias pruebas para explorar si se cumple el supuesto de homocedasticidad de los errores en regresión lineal.

En las prueba mostradas a continuación se estudian las siguientes hipótesis.

\[\begin{align*} H_0 &: \text{los errores tienen varianza constante.} \\ H_1 &: \text{los errores no tienen varianza constante.} \end{align*}\]

Breusch-Pagan Test

Esta prueba fue propuesta por Breusch and Pagan (1979) y consiste en ajustar un modelo de regresión lineal auxiliar que tiene como variable respuesta residuales del modelo original al cuadrado \(e_i^2\), y como covariables las variables del modelo original.

Por ejemplo, si se tienen \(k=2\) covariables para explicar a \(Y\), entonces el modelo de regresión auxiliar para estudiar la homocedasticidad es:

\[ \hat{e}_i^2 = \delta_0 + \delta_1 x_1 + \delta_2 x_2 + u \]

Si se concluye que \(\delta_1=\delta_2=0\), significa que los residuales no son función de las covariables del modelo. El estadístico en esta prueba está dado por \(n \times R^2\), y bajo la hipótesis nula verdadera, el estadístico tiene distribución \(\chi^2_k\).

La función bptest del paquete lmtest de Zeileis and Hothorn (2002) implementa esta prueba.

Ejemplo

Simule un conjunto de datos donde se viole la hipótesis de varianza constante (de los \(e_i\) o de las \(y_i\)) y aplique las pruebas de hipótesis para ver si son capaces de detectar la violación del supuesto de homocedasticidad.

Solución En el código mostrado a continuación se simulan observaciones en las cuales la varianza de \(e_i\) no es constante ya que para generar los datos se usa la instrucción ei <- rnorm(n=n, sd=x2), es decir que la varianza depende de la variable \(x_2\).

gen_data <- function(n) {
  x1 <- rpois(n, lambda=5)
  x2 <- rbinom(n, size=6, prob=0.4)
  ei <- rnorm(n=n, sd=x2)
  y <- -3 + 2 * x1 + 4 * x2 + ei
  data.frame(y, x1, x2)
}

n <- 200
datos <- gen_data(n=n)
mod <- lm(y ~ x1 + x2, data=datos) # Modelo de interes

Vamos a aplicar la prueba de forma manual.

ei <- resid(mod)
fit <- lm(ei^2 ~ x1 + x2, data=datos) # Modelando ei^2 ~ x1 + x2
R2 <- summary(fit)$r.squared
k <- 2
estadistico <- n * R2
valorP <- pchisq(q=estadistico, df=k, lower.tail=FALSE)
cbind(estadistico, valorP)

     estadistico      valorP
[1,]    13.58232 0.001123667

Vamos a aplicar la prueba de forma automática con la función bptest.

library(lmtest)
bptest(mod)


    studentized Breusch-Pagan test

data:  mod
BP = 13.582, df = 2, p-value = 0.001124

De la salida anterior se observa que el valor-P es menor que el nivel de significancia usual de 5%, por lo tanto, hay evidencias para decir que no se cumple la homocedasticidad de los \(e_i\).

White test

El test de Breusch-Pagan sólo detecta formas lineales de heterocedasticidad. Para resolverlo, el test de White, propuesto por White (1980), permite contrastar no linealidades utilizando los cuadrados y los productos cruzados de todos los regresores. Si \(k=2\) el test de White crea el siguiente modelo de regresión:

\[ \hat{e}_i^2 = \delta_0 + \delta_1 x_1 + \delta_2 x_2 + \delta_3 x_1 x_2 + \delta_4 x_1^2 + \delta_5 x_2^2 + u \]

Este test se puede implementar por medio de la función bptest pero especificando los términos no lineales de la expresión anterior.

Ejemplo

Aplicar White test para los datos simulados del ejemplo anterior.

Solución

Para aplicar el test se usa el argumento varformula y se escribe la fórmula con los términos no lineales \(\delta_3 x_1 x_2 + \delta_4 x_1^2 + \delta_5 x_2^2\), los términos lineales están por defecto.

bptest(mod, varformula = ~ x1 * x2 + I(x1^2) + I(x2^2), data=datos)


    studentized Breusch-Pagan test

data:  mod
BP = 14.195, df = 5, p-value = 0.01442

Como el valor-P es pequeño entonces hay evidencias para rechazar la hipótesis de homocedasticidad.

La prueba se puede también realizar de forma manual, a continuación se muestra el procedimiento.

fit <- lm(resid(mod)^2 ~ x1 + x2 + x1 * x2 + I(x1^2) + I(x2^2), data=datos) 
R2 <- summary(fit)$r.squared
estadistico <- n * R2
valorP <- pchisq(q=estadistico, df=5, lower.tail=FALSE)
cbind(estadistico, valorP)

     estadistico     valorP
[1,]    14.19473 0.01441865

Score test for nonconstant error variance

Esta prueba sirve para estudiar la hipótesis nula de varianza constante de los errores frente a la hipótesis alternativa de que la varianza de los errores cambia con el nivel de la respuesta o con alguna combinación lineal de los predictores.

La función ncvTest del paquete car Fox et al. (2026) implementa esta prueba.

Ejemplo

Aplicar Score test para los datos simulados del ejemplo anterior.

Solución

library(car)

Loading required package: carData

ncvTest(mod)

Non-constant Variance Score Test 
Variance formula: ~ fitted.values 
Chisquare = 7.690419, Df = 1, p = 0.0055515

Goldfeld-Quandt Test

Este test está implementado en la función gqtest del paquete lmtest.

Harrison-McCabe test

Este test está implementado en la función hmctest del paquete lmtest.