17 Modelos Lineales Generalizados Mixtos

Los modelos lineales generalizados mixtos (glmm) fueron propuestos por (Breslow and Clayton 1993) y en ellos se asume que existe una relación entre el vector de observaciones $\boldsymbol{Y}_i$ del sujeto o grupo $i$ y las covariables por medio de la siguiente expresión

$$\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{Y}_i \mid \boldsymbol{b}_i &\sim \mathcal{F}(\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{b}_i, \phi), \\ \boldsymbol{b}_i &\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{D}), \end{aligned} \tag{17.1} \end{equation}$$

donde $\mathcal{F}$ corresponde a una distribución de la familia exponencial que incluye las distribuciones normal, Poisson, binomial negativa, gamma e inversa gaussiana.

Las matrices $\boldsymbol{X}_i$ y $\boldsymbol{Z}_i$ son matrices de diseño conocidas con la información de las covariables, siendo $\boldsymbol{X}_i$ de dimensión $n_i \times p$ y $\boldsymbol{Z}_i$ de dimensión $n_i \times q$. El elemento $\boldsymbol{\beta}$ representa el vector de efectos fijos general, $\boldsymbol{b}_i$ el vector de efectos aleatorios exclusivo para el grupo $i$.

El vector $\boldsymbol{b}_i$ en la expresión (17.1) es llamado efecto aleatorio porque éste cambia la media de sujeto a sujeto y su función es la de mejorar el ajuste general dado por el elemento $\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta}$ al agregar la cantidad $\boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{b}_i$. El modelo dado en la expresión (17.1) es llamado también modelo mixto porque involucra tanto efectos fijos ($\boldsymbol{\beta}$) como efectos aleatorios ($\boldsymbol{b}_i$).

La distribución marginal de $\boldsymbol{Y}_i$ está dada por

$$\begin{equation} f_i(\boldsymbol{Y}_i) = \int f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i) f(\boldsymbol{b}_i) \, d \boldsymbol{b}_i \end{equation}$$

donde $f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i)$ corresponde a la densidad normal, Poisson, binomial negativa, gamma o inversa gaussina y $f(\boldsymbol{b}_i)$ corresponde a la distribución normal bivariada mostrada en (17.1).

La función de verosimilitud para el vector de parámetros $\boldsymbol{\Theta}=(\boldsymbol{\beta}, \phi, \boldsymbol{D})^\top$ se puede escribir como

$$L(\boldsymbol{\Theta}) = \prod_{i=1}^{n} \int f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i) f(\boldsymbol{b}_i) \, d \boldsymbol{b}_i .$$

17.1 Videos de apoyo

A continuación se muestran los videos sobre glmm creados por la profesora Christina Knudson. Esta lista de reproducción contiene varios con explicaciones sencillas sobre los glmm que sirven como introducción al tema. A continuación el primer video de la lista de reproducción.

A continuación se muestran los videos sobre glmm creados por Mark Williamson.

References

Breslow, Norman E, and David G Clayton. 1993. “Approximate Inference in Generalized Linear Mixed Models.” Journal of the American Statistical Association 88 (421): 9–25.