3 Modelos Lineales Mixtos

Los modelos lineales mixtos fueron propuestos por (Laird and Ware 1982) y en ellos se asume que existe una relación entre el vector de observaciones $\boldsymbol{Y}_i$ del sujeto o grupo $i$ y las covariables por medio de la siguiente expresión

$$\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{Y}_i \mid \boldsymbol{b}_i &\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{b}_i, \boldsymbol{\Sigma}_i), \\ \boldsymbol{b}_i &\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{D}), \end{aligned} \tag{3.1} \end{equation}$$

donde $\boldsymbol{X}_i$ y $\boldsymbol{Z}_i$ son matrices de diseño conocidas con la información de las covariables, siendo $\boldsymbol{X}_i$ de dimensión $n_i \times p$ y $\boldsymbol{Z}_i$ de dimensión $n_i \times q$. El elemento $\boldsymbol{\beta}$ representa el vector de efectos fijos general, $\boldsymbol{b}_i$ el vector de efectos aleatorios exclusivo para el grupo $i$.

El vector $\boldsymbol{b}_i$ en la expresión (3.1) es llamado efecto aleatorio porque éste cambia la media de sujeto a sujeto y su función es la de mejorar el ajuste general dado por el elemento $\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta}$ al agregar la cantidad $\boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{b}_i$. El modelo dado en la expresión (3.1) es llamado también modelo mixto porque involucra tanto efectos fijos ($\boldsymbol{\beta}$) como efectos aleatorios ($\boldsymbol{b}_i$).

La distribución marginal de $\boldsymbol{Y}_i$ está dada por

$$\begin{equation} f_i(\boldsymbol{Y}_i) = \int f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i) f(\boldsymbol{b}_i) \, d \boldsymbol{b}_i \end{equation}$$

donde $f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i)$ y $f(\boldsymbol{b}_i)$ corresponden a las densidades normales mostradas en la expresión (3.1). Esta distribución marginal tiene forma cerrada y se puede mostrar fácilmente que la distribución de $\boldsymbol{Y}_i$ es una normal multivariada con vector de medias y matriz de covarianzas como se muestra a continuación.

$$\begin{equation} \boldsymbol{Y}_i \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{V}_i), \end{equation}$$

donde $\boldsymbol{V}_i=\boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{D} \boldsymbol{Z}_i^\top + \boldsymbol{\Sigma}_i$. El vector de parámetros en este caso es $\boldsymbol{\theta}=(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha})^\top$ donde $\boldsymbol{\alpha}$ consiste de los $q(q+1)/2$ elementos diferentes de la matriz $\boldsymbol{D}$ y todos los elementos de la matriz $\boldsymbol{\Sigma}_i$.

3.1 Entrevista con Jim Ware y Nan Laird

References

Laird, Nan M., and James H. Ware. 1982. “Random-Effects Models for Longitudinal Data.” Biometrics 38 (4): 963–74. http://www.jstor.org/stable/2529876.