3 Modelos Lineales Mixtos
Los modelos lineales mixtos fueron propuestos por (Laird and Ware 1982) y en ellos se asume que existe una relación entre el vector de observaciones \(\boldsymbol{Y}_i\) del sujeto o grupo \(i\) y las covariables por medio de la siguiente expresión
\[\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{Y}_i \mid \boldsymbol{b}_i &\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{b}_i, \boldsymbol{\Sigma}_i), \\ \boldsymbol{b}_i &\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{D}), \end{aligned} \tag{3.1} \end{equation}\]
donde \(\boldsymbol{X}_i\) y \(\boldsymbol{Z}_i\) son matrices de diseño conocidas con la información de las covariables, siendo \(\boldsymbol{X}_i\) de dimensión \(n_i \times p\) y \(\boldsymbol{Z}_i\) de dimensión \(n_i \times q\). El elemento \(\boldsymbol{\beta}\) representa el vector de efectos fijos general, \(\boldsymbol{b}_i\) el vector de efectos aleatorios exclusivo para el grupo \(i\).
El vector \(\boldsymbol{b}_i\) en la expresión (3.1) es llamado efecto aleatorio porque éste cambia la media de sujeto a sujeto y su función es la de mejorar el ajuste general dado por el elemento \(\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta}\) al agregar la cantidad \(\boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{b}_i\). El modelo dado en la expresión (3.1) es llamado también modelo mixto porque involucra tanto efectos fijos (\(\boldsymbol{\beta}\)) como efectos aleatorios (\(\boldsymbol{b}_i\)).
La distribución marginal de \(\boldsymbol{Y}_i\) está dada por
\[\begin{equation} f_i(\boldsymbol{Y}_i) = \int f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i) f(\boldsymbol{b}_i) \, d \boldsymbol{b}_i \end{equation}\]
donde \(f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i)\) y \(f(\boldsymbol{b}_i)\) corresponden a las densidades normales mostradas en la expresión (3.1). Esta distribución marginal tiene forma cerrada y se puede mostrar fácilmente que la distribución de \(\boldsymbol{Y}_i\) es una normal multivariada con vector de medias y matriz de covarianzas como se muestra a continuación.
\[\begin{equation} \boldsymbol{Y}_i \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{V}_i), \end{equation}\]
donde \(\boldsymbol{V}_i=\boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{D} \boldsymbol{Z}_i^\top + \boldsymbol{\Sigma}_i\). El vector de parámetros en este caso es \(\boldsymbol{\theta}=(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha})^\top\) donde \(\boldsymbol{\alpha}\) consiste de los \(q(q+1)/2\) elementos diferentes de la matriz \(\boldsymbol{D}\) y todos los elementos de la matriz \(\boldsymbol{\Sigma}_i\).